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成本理论
2025-12-01
Economics
Notes
/
Economics

成本理论#

成本是指为了生产商品或服务而支付的全部费用。成本理论在经济学中占有重要地位，因为它直接影响企业的生产决策和市场行为。

成本的分类#

成本可以根据不同的标准进行分类，

经济成本，会计成本等。#

  1. 经济成本（Economic Costs）：包括显性成本和隐性成本。显性成本是企业实际支付的费用，如工资、原材料费用等；隐性成本是企业放弃的其他机会的收益，如自有资本的机会成本。
    EC=显性成本+隐性成本EC = \text{显性成本} + \text{隐性成本}
  2. 会计成本（Accounting Costs）：仅包括显性成本，是企业在会计记录中反映的实际支出。
    AC=显性成本AC = \text{显性成本}
  3. 机会成本（Opportunity Costs）：选择一种资源配置方式所放弃的其他最佳选择的收益。
    OC=max⁡(其他选择的收益)−选择的收益OC = \max(\text{其他选择的收益}) - \text{选择的收益}
  4. 沉没成本（Sunk Costs）：已经发生且无法收回的成本，不应影响未来的经济决策。
    如研发费用、市场调研费用等。

短期成本与长期成本#

  1. 短期成本（Short-Run Costs）：在短期内，至少有一种生产要素是固定的，企业只能调整可变要素来改变产量。短期成本包括固定成本和可变成本。
    STC=FC+SVCSTC = FC + SVC
  2. 长期成本（Long-Run Costs）：在长期内，所有生产要素都是可变的，企业可以调整所有要素来实现最优生产规模。长期成本曲线通常低于短期成本曲线，因为企业可以通过调整规模来降低平均成本。 LTC=LVCLTC = LVC

短期生产成本#

  1. 固定成本（FC）：不随产量变化而变化的成本，如租金、设备折旧等。
  2. 可变成本（VC）：随产量变化而变化的成本，如原材料费用、劳动力成本等。
  3. 总成本（TC）：固定成本和可变成本之和
  4. 边际成本（MC）：增加一单位产量所增加的总成本。
  5. 平均成本（AC）：总成本除以产量，表示每单位产品的平均生产成本。

公式和计算#

  • STC=FC+VCSTC = FC + VC
  • VC=TC−FCVC = TC - FC
  • MC=ΔTCΔQMC = \frac{\Delta TC}{\Delta Q}
  • AC=TCQAC = \frac{TC}{Q}
  • AVC=VCQAVC = \frac{VC}{Q}

成本曲线#

MC与TVC曲线#

MC曲线对应于TVC曲线的拐点处达到最低点。 当MC慢慢减少到最低点的时候，TVC的增速也变到最慢，之后MC开始上升，TVC的增速也开始加快。 MC与TVC曲线

MC与AVC曲线#

当MC低于AVC时，AVC下降；当MC高于AVC时，AVC上升。因此，MC曲线与AVC曲线相交于AVC的最低点。 MC与AVC曲线

推导:

MC=d TVCdQMC = \frac{d\,TVC}{dQ}AVC=TVCQAVC = \frac{TVC}{Q}d AVCdQ=Q⋅d TVCdQ−TVCQ2\frac{d\,AVC}{dQ} = \frac{Q \cdot \frac{d\,TVC}{dQ} - TVC}{Q^2} =MC⋅Q−TVCQ2= \frac{MC \cdot Q - TVC}{Q^2} =MCQ−AVCQ= \frac{MC}{Q} - \frac{AVC}{Q}

当MC=AVCMC = AVC时，d AVCdQ=0\frac{d\,AVC}{dQ} = 0，即AVC达到最低点，同时AVC穿过MC。

短期成本曲线簇#

短期成本曲线簇

当MC<ACMC < AC时,Q上升,AC下降。
当MC>ACMC > AC时,Q上升,AC上升。
当MC=ACMC = AC时,AC达到最低点。 当MC上升时，与AC相交于AC的最低点。

成本函数与生产函数的关系#

成本函数与生产函数密切相关。生产函数描述了投入要素与产出之间的关系，而成本函数则反映了在不同产量水平下的总成本。

  1. 生产函数（Production Function）：表示在一定技术水平下，投入 要素与产出之间的关系。通常表示为： Q=f(L,K)Q = f(L, K) 其中，Q为产量，L为劳动投入，K为资本投入。
  2. 成本函数（Cost Function）：表示在不同产量水平下的总成本。通常表示为： TC=C(Q)TC = C(Q) 其中，TC为总成本，Q为产量。 通过生产函数，可以推导出成本函数，反之亦然。企业通过分析成本函数，可以优化资源配置，提高生产效率。
    根据生产函数，假设劳动和资本的价格为W和K

AVC与AP_L的关系#

APL=QLAP_L = \frac{Q}{L}

MPL=dQdLMP_L = \frac{dQ}{dL}

APL=MPL⋅LQAP_L = MP_L \cdot \frac{L}{Q}

AVC=VCQ=WLQ=WQL=WAPL AVC = \frac{VC}{Q} = \frac{WL}{Q} = \frac{W}{\frac{Q}{L}} = \frac{W}{AP_L}

由于边际报酬递减，MPLMP_L随着劳动投入的增加而递减，APLAP_L也会递减。因此，AVCAVC随着LL的增加而递减，与APLAP_L成反比关系。在AP_L达到最大值时，AVCAVC也达到最低点。 AVC与AP_L的关系

MC与MP_L的关系#

MC=d TCdQ=d VCdQ=d (W⋅L)dQ=W⋅dLdQ=W⋅1MPLMC = \frac{d\,TC}{dQ} = \frac{d\,VC}{dQ} = \frac{d\,(W \cdot L)}{dQ} = W \cdot \frac{dL}{dQ} = W \cdot \frac{1}{MP_L}

因此，MCMC与MPLMP_L成反比关系。当MPLMP_L增加时，MCMC减少；当MPLMP_L减少时，MCMC增加。这表明，在边际报酬递减的情况下，增加劳动投入会导致边际成本上升。MCMC的最低点对应于MPLMP_L的最大值。 MC与MP_L的关系

长期成本曲线#

长期成本曲线（LTC）表示在长期内，不同产量水平下的总成本。长期成本曲线通常低于短期成本曲线，因为企业可以调整所有生产要素来实现最优生产规模。

  1. 长期总成本（LTC）：在长期内，所有生产要素都是可变的，企业可以选择最优的生产规模来实现最低成本。
    LTC=LFC+LVCLTC = LFC + LVC
  2. 长期平均成本（LAC）：长期总成本除以产量，表示每单位产品的长期平均生产成本。表示厂商在长期内按产量平均计算的最低成本。
    LAC=LTCQLAC = \frac{LTC}{Q}
  3. 长期边际成本（LMC）：增加一单位产量所增加的长期总成本。实际上是最低总成本的增量 LMC=d LTCdQLMC = \frac{d\,LTC}{dQ}

长期成本曲线的形状#

长期成本曲线通常呈现U形，这反映了规模经济和规模不经济的影响。在低产量水平下，企业可以通过扩大生产规模来降低平均成本（规模经济）；然而，当产量继续增加时，管理复杂性和资源限制可能导致平均成本上升（规模不经济）。

长期成本曲线与短期成本曲线的关系#

长期成本曲线是由一系列短期成本曲线的包络线形成的。每条短期成本曲线对应于不同的生产规模，而长期成本曲线则表示在所有可能的生产规模下的最低成本。

LTC与STC的关系#

长期总成本（LTC）是短期总成本（STC）的下包络线。对于每一个产量水平，LTC表示在长期内实现该产量的最低成本，而STC则表示在特定生产规模下的成本。因此，LTC曲线始终位于STC曲线的下方或与之相切。 LTC与STC的关系

LAC与SAC的关系#

长期平均成本（LAC）是短期平均成本（SAC）的下包络线。对于每一个产量水平，LAC表示在长期内实现该产量的最低平均成本，而SAC则表示在特定生产规模下的平均成本。因此，LAC曲线始终位于SAC曲线的下方或与之相切。 LAC与SAC的关系

LAC与每一条SAC曲线仅有一个切点，切点对应的产量水平表示在该产量下，企业选择的最优生产规模，从而实现最低平均成本。
除了切点外，LAC曲线低于所有SAC曲线，因为在长期内，企业可以调整生产规模以实现更低的平均成本。
在LAC的最低点处，LAC曲线与一条SAC曲线相切，这表明在该产量水平下，企业的最优生产规模实现了最低的长期平均成本。
在LAC最低点左边，LAC切于SAC最低点左边。
在LAC最低点右边，LAC切于SAC最低点右边。

LAC与生产规模的关系#

长期平均成本（LAC）曲线的形状反映了生产规模对单位成本的影响。LAC曲线通常呈现U形，这表明在不同的生产规模下，单位成本会经历下降和上升的过程。

  1. 规模经济（Economies of Scale）：在LAC曲线的下降阶段，随着产量的增加，单位成本下降。这是因为企业通过扩大生产规模，可以更有效地利用资源，分摊固定成本，并实现专业化生产，从而降低平均成本。
  2. 规模不经济（Diseconomies of Scale）：在LAC曲线的上升阶段，随着产量的增加，单位成本上升。这可能是由于管理复杂性增加、资源限制或其他因素导致的效率下降，从而使平均成本上升。
  3. 规模报酬不变（Constant Returns to Scale）：在LAC曲线的最低点，单位成本达到最低值，此时企业的生产规模最为优化，既没有规模经济也没有规模不经济。 LAC与生产规模的关系

LMC与SMC的关系#

在每个产量水平，LTC都与代表最优生产规模的STC相切，在切点的斜率相同，而斜率分别是LMC和SMC，在LTC与STC切点对应处，LMC=SMC。因此， LMC与SMC必然相交于一点 LMC与SMC的交点所对应的产量，既是LTC与STC切点所对应的产量，又是LAC与SAC切点所对应的产量。在这一点，满足下面的条件：

  • LTC = STC
  • LMC = SMC
  • LAC = SAC 在LAC最低点处，LMC = LAC = SAC = SMC。 LMC与SMC的关系

收益与利润最大化#

收益#

收益指企业通过销售商品或服务所获得的总收入。包括成本和利润。
收益又分为总收益（TR）、平均收益（AR）和边际收益（MR）。

  1. 总收益（Total Revenue, TR）：企业通过销售商品或服务所获得的总收入。
    TR=P×QTR = P \times Q
    其中，P为价格，Q为销售数量。
  2. 平均收益（Average Revenue, AR）：总收益除以销售数量，表示每单位产品的平均收入。
    AR=TRQ=PAR = \frac{TR}{Q} = P
  3. 边际收益（Marginal Revenue, MR）：增加一单位销售数量所增加的总收益。
    MR=ΔTRΔQMR = \frac{\Delta TR}{\Delta Q}

利润#

利润是收益减去成本后的剩余部分。
会计利润和经济利润是两种不同的利润概念。

  1. 会计利润（Accounting Profit）：总收益减去会计成本（显性成本）后的剩余部分。
    AP=TR−ACAP = TR - AC
  2. 经济利润（Economic Profit）：总收益减去经济成本（显性成本和隐性成本）后的剩余部分。
    π(Q)=TR−EC\pi(Q) = TR - EC

利润最大化条件#

企业通过调整产量来实现利润最大化。利润最大化的条件是边际收益等于边际成本（MR = MC）。

  1. 当MR > MC时，增加产量可以增加利润。
  2. 当MR < MC时，减少产量可以增加利润。
  3. 当MR = MC时，利润达到最大值，此时企业实现了利润最大化。企业既不增加也不减少产量，而是保持当前产量水平，实现利润最大化。一般这个点是生产规模最优点。利润最大化原则也是亏损最小化原则。

利润最大化

数学证明#

设利润函数为π(Q)\pi(Q)，则有：

π(Q)=TR(Q)−TC(Q)\pi(Q) = TR(Q) - TC(Q)

为了找到利润最大化的产量水平，我们对利润函数求导：

dπ(Q)dQ=dTR(Q)dQ−dTC(Q)dQ=MR−MC\frac{d\pi(Q)}{dQ} = \frac{dTR(Q)}{dQ} - \frac{dTC(Q)}{dQ} = MR - MC∴,当MR=MC时，dπ(Q)dQ=0, 实现利润最大化。\therefore, \text{当} MR = MC \text{时，} \frac{d\pi(Q)}{dQ} = 0 \text{, 实现利润最大化。}

同时要保证二阶导数小于零，即：

d2π(Q)dQ2=dMRdQ−dMCdQ<0\frac{d^2\pi(Q)}{dQ^2} = \frac{dMR}{dQ} - \frac{dMC}{dQ} < 0

π′′(Q)<0\pi''(Q) <0 时，π(Q)\pi(Q)为凸函数，在该点取得最大值。

练习题#

7、已知生产函数为Q=A14L14K12Q=A^{\frac{1}{4}} L^{\frac{1}{4}} K^{\frac{1}{2}}；各要素的价格分别为PA=1，PL=1，PK=2；假定厂商处于短期生产，且K=16，推导：该厂商短期生产的总成本函数和平均成本函数；总可变成本函数和平均可变成本函数；边际成本函数。

∵K=16∴Q=A14L14⋅4∴TC=A+L+32∴FC=32∴MPL=Q′(L)=A14⋅14L−34⋅4=A14L−34∴MPA=Q′(A)=14A−34L14⋅4=A−34L14∵在等产量曲线上，MPL/PL=MPA/PA的时候成本最小,PL=1,PA=1∴MPL=MPA∴A14L−34=A−34L14∴A=L∴Q=A14⋅A14⋅4=4A12 ∴A=Q216∵A=L∴L=Q216∴TVC=A+L=Q216+Q216=Q28∴TC=TVC+FC=Q28+32∴AVC=TVCQ=Q8∴AC=TCQ=Q8+32Q∴MC=dTCdQ=Q4\because K = 16 \\ \therefore Q = A^{\frac{1}{4}} L^{\frac{1}{4}} \cdot 4 \\ \therefore TC = A + L + 32 \\ \therefore FC = 32 \\ \therefore MP_L = Q'(L) = A^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{4} L^{-\frac{3}{4}} \cdot 4 = A^{\frac{1}{4}} L^{-\frac{3}{4}} \\ \therefore MP_A = Q'(A) = \frac{1}{4} A^{-\frac{3}{4}} L^{\frac{1}{4}} \cdot 4 = A^{-\frac{3}{4}} L^{\frac{1}{4}} \\ \because 在等产量曲线上， MP_L/P_L = MP_A/P_A 的时候成本最小, P_L=1, P_A=1 \\ \therefore MP_L = MP_A \\ \therefore A^{\frac{1}{4}} L^{-\frac{3}{4}} = A^{-\frac{3}{4}} L^{\frac{1}{4}} \\ \therefore A = L \\ \therefore Q = A^{\frac{1}{4}} \cdot A^{\frac{1}{4}} \cdot 4 = 4A^{\frac{1}{2}} \\\ \therefore A = \frac{Q^2}{16} \\ \because A = L \\ \therefore L = \frac{Q^2}{16} \\ \therefore TVC = A + L = \frac{Q^2}{16} + \frac{Q^2}{16} = \frac{Q^2}{8} \\ \therefore TC = TVC + FC = \frac{Q^2}{8} + 32 \\ \therefore AVC = \frac{TVC}{Q} = \frac{Q}{8} \\ \therefore AC = \frac{TC}{Q} = \frac{Q}{8} + \frac{32}{Q} \\ \therefore MC = \frac{dTC}{dQ} = \frac{Q}{4}

8、已知某厂商的生产函数为Q=0.5L13K23Q=0.5L^{\frac{1}{3}}K^{\frac{2}{3}}；当资本投入量K=50K=50时资本的总价格为500500；劳动的价格PL=5PL=5。求：
（1）劳动的投入函数L=L(Q)L=L(Q)。
（2）总成本函数、平均成本函数和边际成本函数。
（3）当产品的价格P=100时，厂商获得最大利润的产量和利润各是多少？

(1)

∵Q=0.5L13K23∴L13=2QK23∵K=50∴L13=2Q5023∴L=(2Q5023)3=8Q3125000\because Q = 0.5L^{\frac{1}{3}}K^{\frac{2}{3}} \\ \therefore L^{\frac{1}{3}} = \frac{2Q}{K^{\frac{2}{3}}} \\ \because K = 50 \\ \therefore L^{\frac{1}{3}} = \frac{2Q}{50^{\frac{2}{3}}} \\ \therefore L = \left(\frac{2Q}{50^{\frac{2}{3}}}\right)^3 = \frac{8Q^3}{125000} \\

(2)

∵K=50时,PK=500∴PK=50050=10∴TC=PL⋅L+PK⋅K=5⋅8Q3125000+10⋅50=40Q3125000+500=Q33125+500\because K = 50 时, PK = 500 \\ \therefore PK = \frac{500}{50} = 10 \\ \therefore TC = PL \cdot L + PK \cdot K = 5 \cdot \frac{8Q^3}{125000} + 10 \cdot 50 = \frac{40Q^3}{125000} + 500 = \frac{Q^3}{3125} + 500 \\
成本理论
https://blog.ingilying.top/posts/notes/economics/cost/
作者
Ingil Ying
发布于
2025-12-01
许可协议
CC BY-NC-SA 4.0
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