函数的凹凸性#

定义#

• 凸函数：$f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，存在$f''(x)$,且对于$\forall x_1, x_2 \in I$ ，有：

  $$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \geq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$$

  函数图像在该区间上向上弯曲。

• 凹函数：$f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，存在$f''(x)$,且对于$\forall x_1, x_2 \in I$ ，有：

  $$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$$

  函数图像在该区间上向下弯曲。

判定定理#

1. 如果$f''(x) < 0$，则$f(x)$在该区间上是凸函数。
2. 如果$f''(x) > 0$，则$f(x)$在该区间上是凹函数。

证明#

1. 如果$f''(x) < 0$，则$f(x)$在该区间上是凸函数。 证明: 设$x_1, x_2 \in I$, $x_1 < x_2$, $x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}$ 根据泰勒展开式，有：